（限选）控制理论中的代数基础

最近由吴俊达于 2025 年 7 月 21 日更新：上传 2021 秋作业及答案 (#13)

2023 级，这门课与《电磁场》（2 学分）二选一[作为自动化与电气工程的分野]；2024 级，这门课与《固体力学》（3 学分）二选一[作为自动化与机器人工程的分野]。

课程介绍（摘自教学大纲）

在自动控制专业中，线性代数或矩阵论是一个重要的数学基础。向量空间、线性映射等知识点是线性系统理论必不可少的预备知识。

本课程在线性代数的基础上进一步增加符合控制相关学科的代数基础内容，使学生获得代数的基本知识和基本理论，掌握必要的数学运算技能；使学生进一步夯实代数基础和具备高维空间的代数描述和逻辑推理能力，同时使学生运用数学方法分析问题和解决问题的能力得到进一步的培养和锻炼，为后续课程的学习打好基础。

授课教师

梅杰
- 负责课程的前半部分，授课方式非常现代——在 iPad 上用 Goodnotes 书写板书并实时投屏👍
- 课前会将用 LaTeX 制作的 PDF 讲义发放至课程群，课后会将手写讲义发放至课程群
- 老师语速较快，知识密度高，上课可能跟不上，作业也比较难，但可以课后整理老师上课的笔记，这是期末复习的重要资料
- 考勤形式是点名回答问题，所以上课不仅要去，还要认真听
李衍杰
- 负责课程的后半部分，授课采用 PPT + 板书的方式，课前会将 PPT 发放至课程群
- 老师语速较慢，知识密度较低，拓展较多。作业比较简单，但可能不会完全覆盖考点，需要仔细看课件
- 考勤形式是遍历型点名

要认真看课件上的例题和作业题。

主要内容

梅老师负责部分（24 学时）

对应讲义	教学内容	教学要求	学时
Lec 1、Lec 2	绪论（课程目的及主要内容）线性空间的概念	1.了解本课程研究的对象、内容；2.掌握线性空间基本概念和八大公理。	2
Lec 2	子空间	1.掌握子空间、子空间的和与直和，以及生成空间的概念	1
Lec 2	线性相关、基和维数	1.掌握线性相关（无关）的概念及性质、基和维数的定义	2
Lec 2	基变换	1.掌握基变换的定义 2.掌握转移矩阵的计算方法 3.了解如何用基变换来进行图像压缩	2
Lec 2	矩阵的四个子空间	1. 掌握矩阵四个子空间的定义和计算方法：列空间、行空间、零空间、左零空间 2. 掌握线性代数基本定理 I：理解各子空间之间的维数关系	2
Lec 2	四个子空间之间的正交关系	1. 掌握向量和空间正交的定义 2. 掌握线性代数基本定理 II：理解各子空间之间的正交关系	1

以上主要对应《线性代数应该这样学》前两章，矩阵的四个子空间的部分可以看 Gilbert Strang 老爷子的书和网课。

对应讲义	教学内容	教学要求	学时
Lec 3	线性变换的定义、零空间和值域、单射和满射	1. 掌握线性变换、零空间和值域、单射和满射及其性质 2. 掌握相关计算方法	2
Lec 3	线性变换的基本定理、线性变换的矩阵表示	1.理解线性变换的基本定理，掌握线性变换基本定理的证明思路 2.掌握线性矩阵表示的定义和相关计算方法 3.了解等价矩阵和相似矩阵的定义	2
Lec 3	图像的扭曲和变形、投影与最小二乘	1.了解如何用线性变换来完成图像的扭曲和变形 2.掌握投影算法与最小二乘问题	2
Lec 3	线性变换的代数运算、可逆与同构	1. 从线性变换矩阵表示的角度理解矩阵运算的本质 2. 掌握可逆矩阵和同构的概念；3. 掌握构造线性映射的方法；4. 理解任意有限维向量空间与 $\mathbb{F}^n$ 的同构、矩阵与线性映射的同构	2
Lec 3	向量空间的积和商	1. 了解向量空间的积；2. 了解平移、商空间、商映射	2
Lec 4	线性方程组的数值求解、数值逼近	1. 了解线性方程组的数值求解方法、了解逼近插值的相关方法	3
	上半程课程回顾		1

以上主要对应《线性代数应该这样学》第三章，有关矩阵表示的部分可以看 Lay D.C., Linear Algebra and Its Applications, 5th ed.（见校内网盘）。数值求解部分主要看讲义，也可以看数值分析课程仓库（也不作为考试内容）。

李老师负责部分（24 学时）

对应讲义	教学内容	教学要求
Lec 5	内积空间和正交	1.掌握内积空间和正交概念 2.掌握内积范数的一些不等式
Lec 5	内积范数和一般范数	1.掌握内积与一般范数的区别 2.理解 1 范数与稀疏性
Lec 5	正交基和标准正交基	1.掌握正交基和标准正交基 2.掌握施密特正交化过程
Lec 5	线性泛函和表示定理	1.掌握线性泛函的概念 2.理解 Riesz 表示定理
Lec 5	正交补及其性质	1.掌握正交补的相关概念 2.理解正交补的性质
Lec 5	正交投影及其性质	1.掌握正交投影的概念 2.掌握正交投影计算和投影矩阵
Lec 5	最小二乘	1.掌握最小二乘概念 2.掌握最小二乘和正交投影关系
Lec 6	线性映射的不变子空间与特征向量	1.掌握不变子空间的概念 2.掌握线性映射的特征向量概念
Lec 6	特征值的存在性和上三角矩阵表示	1.理解特征值的存在性 2.掌握上三角矩阵表示的性质
Lec 6	线性映射的对角化	1.掌握可对角化矩阵表示的条件及方法
Lec 6	线性微分方程组求解	1.掌握线性一阶、二阶微分方程组的求解
Lec 6	奇异值分解	1.掌握奇异值分解的求解方法
	后半程课程回顾

以上主要对应《线性代数应该这样学》第五、六章。

教材与参考书

老师自编的讲义会参考以下 4 本教材，参考程度从上到下递减。阅读原书、建立完整的知识体系大有裨益，不过限于时间，可以选择性阅读。

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 3rd ed.(2015) / 4th ed.(2023)【两版均有中译本】
- 此书本的官方网站：linear.axler.net，提供 Linear Algebra Done Right 的免费电子书。2023 年作者发布了这本书的第 4 版，目前已经开放阅读和下载。
- 第 4 版中译由哈深 21 级的两位学生完成，已经发布在网址 1 和网址 2，有需求的同学可以对照阅读。欢迎大家多提意见，译者会不断修订并更新发布的版本。作者官网上也有链接，但更新相对不那么及时，建议访问此处的链接。
Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 5th ed.(2016) / 6th ed.(2023)【无中译本，但可读性强】
- 有对应网课：B 站搜 Gilbert Strang 即可。
Lay D.C., Linear Algebra and Its Applications, 5th ed. 【有中译本，但建议读原版】
Steven J. Leon, Linear Algebra with Applications. 【有中译本，但建议读原版】
- 以上 3 本电子书可在校内网盘（MATH1002 或 AUTO2006 文件夹）下载。

推荐学有余力的同学阅读下面三本教材：

Sergei Treil, Linear Algebra Done Wrong, Brown University (链接)
- 在矩阵与线性映射的关系上讲解比 Lay 更为简洁且不失严谨；对于行列式有非常简洁但富有动机的讲法；后续更进阶的内容也写得很简洁清晰。值得一读。
季海波，控制理论中的代数基础，中国科学技术大学
黄琳，系统与控制理论中的线性代数，科学出版社

文 / Oliver Wu, 2025.7

关于考试

考试难度：中

题目包括但不限于：课本课后习题原题、作业题魔改、书本有关定理证明。

2025 春考试：
- 题型：15 个判断题 30 分，九道大题 70 分。大多为基础题、计算题，拔高的构造式证明题仅占 3 分。
- 但由于是考查课，作为助教，从平时作业就可看出同学们对于课程的态度总体不算认真。再加之备考时间紧张，许多同学复习并不充分，试卷上出现大片空白，最后成绩不理想。
- 希望同学们以思维锻炼的眼光看待这门课，活化自己的头脑。

文 / Oliver Wu, 2025.7

学习建议

推荐学习路线：

个人建议在课程开始前（比如寒假的时间是最好的，这本书读起来也是很有趣的）阅读《线性代数及其应用》，这本书讲得比较浅显易懂。由于本书涉及了比较多的应用，过于专业的问题可以跳过，能够把这本书读完后基本能对线性代数有一个比较直观的认知。我强烈推荐至少要阅读前四章，因为国内的线性代数教材并不注重线性空间等知识，而是有大量的计算。而根据我上课来看，控代的老师似乎是默认你有一定的认识，然而我感觉大部分同学像是没有学习过线性代数一样。因此，推荐这本书作为真正的第一次学习线性代数。
上课的时候也要认真听，毕竟题是由两位授课教师出的，但是有了前面的学习，相信你听起课来肯定会更加轻松，只需要注意一些细节的点。尤其是前半部分相对来说是一个比较新的部分，注意理解作业题的思路。如果自己第一次学好了线性代数，后半部分学习应该是比较轻松的。