凸优化与最优控制
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基本信息
- 学分
- 2.0
- 课程性质
- 学位课
- 考核方式
学时分配
成绩构成
2024 年秋情况：无随堂测验，作业（含凸优化习题以及最优控制大作业）占比为 30%，期末考试占比为 70%。
课程名称为“凸优化与最优控制”，其中用于讲解凸优化的课时占了约四分之三，尽管李衍杰老师每年都想要给“最优控制”多分配些课时。
教材
凸优化部分的参考教材是 Convex Optimization, Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe。课上所使用的课件截取自配套课件（可从教材官网下载）。
最优控制部分的参考书有：
- Convex Optimization（Stephen Boyd / Lieven Vandenberghe / Cambridge University Press / textbook）
- Applied Optimal Control（A. E. Bryson / Y. C. Ho / Taylor & Francis / textbook）
- Optimal Control Theory an Introduction（D. E. Kirk / Dover Publication Inc. / textbook）
- Dynamic Programming and Optimal Control（D. P. Bertsekas / Athena Scientific / textbook）
课程内容
主要内容是：凸优化与最优控制简介，包括各种凸优化和最优控制应用的实例。
主要内容是：凸集的定义和例子，证明某集合是凸集的方法（重点），保持集合凸性的运算，广义不等式。
主要内容是：凸函数的定义和例子，证明某函数是凸函数的方法（重点），保持函数凸性的运算，共轭函数，准凸函数，对数凹函数和对数凸函数，关于广义不等式的凸性。
主要内容是：凸优化问题及其特殊实例，如线性规划、二次规划、二阶锥规划和半定规划等；各种优化问题之间的转化（重点），例如将非凸优化问题转化为凸优化问题，将非线性规划问题转化为线性规划问题等。
主要内容是：拉格朗日对偶理论，对偶优化问题及其几何解释，KKT条件。这一讲都挺重要的，需要掌握其中的概念及推导。
主要内容是：梯度方法、最速下降法和牛顿法（重点），几乎不讨论收敛性分析。补充介绍了 Gauss-Newton 法。此外，还走马观花地讲了讲数值线性代数的知识，其中包括 Cholesky 分解、QR 分解、奇异值分解等常用的矩阵分解以及算法复杂度等。
主要内容是：不等式约束优化问题的对数障碍函数方法（即“内点法”），关于内点法的收敛性只给出了多种解释而不讨论严格的收敛性分析。此外，简单提及了广义不等式约束优化问题和主对偶内点优化算法。
主要内容是：动态优化问题（最优控制问题）的三大方法——变分法、庞德里亚金最大值原理和动态规划，以及最优控制的数值解法。
文 / Hye，2025-01
关于考试
允许携带一张A4纸。可以带计算器（但基本用不上）。
这门考试的考点其实是很明确的，因为所讲的内容确实不多。凸优化中的复杂证明在课上就不会讲到，而是被当作“对我们没有什么用处”的“纯粹的数学”一笔带过（笑）。而最优控制问题中的复杂计算又难以考查。考试中最难的也就是一些稍微需要技巧的证明（主要是优化问题之间的转化），如果之前没有了解具体方法未必能想出证法，不过好在这些在课上都会讲到。
文 / Hye，2025-01
资源下载
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